\(\triangleright\) Définition d'une base orthonormée discrète dans l'espace de Hilbert
Une base de l'espace de Hilbert (Base hilbertiennne) est formé d'une suite de vecteurs \(\ket{V_i}\in\mathcal H\) avec \(i=1,2,....\).
Pour être orthonormée, ces vecteurs doivent vérifier les conditions suivantes:
Le Produit scalaire Hermitien montre l'orthogonalité de deux vecteurs d'ondes différents et une norme normale (égale à 1) de ces derniers (famille orthonormale de \(\mathcal H\)):
\(\forall \,\,\ket{\Psi}\in\mathcal H\) se décompose tel que :$$\ket{\Psi}={{\sum_{i=1,2,...}\lambda_i\ket{V_i} }}$$$\(\text{avec }\lambda_i\in\Bbb C\text{ :composantes}\)$
\(\triangleright\) Définition d'une base orthonormée continue dans l'espace de Hilbert
La base est continue \(\{\ket\Psi_\alpha;\alpha\in\Bbb R\}\)
$$\Psi={{\int d\alpha\langle{\Psi(\alpha)|\Psi_{\alpha} }\rangle }}$$
Avec \(\Psi(\alpha)=\langle{\Psi_\alpha |\Psi}\rangle \in\Bbb C\) la Fonction d'onde de \(\ket \Psi\) dans la représentation \(\alpha\) (Physique quantique (Représentation))
Composition d'un vecteur d'onde
\(\triangleright\) Composition d'un vecteur d'onde dans une base orthonormé de l'espace d'Hilbert
$$\ket{\Psi}=\begin{pmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3\\ ..\\ ..\end{pmatrix}$$
Avec \(\lambda_i\in\Bbb C\) la composante qui dépend de la base choisie